מינימטיקה - מתמטיקה לבגרות

תוכן עניינים
סימנים מוסכמים
במתמטיקה
סימנים מתמטיים 2
א-ב יווני 7
השיטה הרומית להצגת מספרים 8

חשבון

חלוקת המספרים לקבוצות
מספרים טבעיים 10
מספרים שלמים 10
מספרים רציונליים 10
ספרים ממשיים 11
מספרים דמיוניים ומרוכבים 11

פעולות חשבון במספרים טבעיים
חיבור - תכונות 12
חיסור - הגדרת ההפרש 12
כפל - תכונות 13
חילוק - הגדרת המנה 14

העלאה בחזקה
הגדרה 14
כפל בין 2 חזקות של אותו בסיס 15
חילוק בין 2 חזקות של אותו בסיס 15
חזקה של מכפלת גורמים 15
חזקה של שבר 15
חזקה בחזקה 15
הגדרה של שורש 16
שורש של מכפלה 16
שורש של מנה 16
שורש של שורש 16
תכונות התחלקות 17

מספרים ראשוניים

פירוק לגורמים ראשוניים 18
המחלק המשותף הגדול ביותר 19
הכפולה המשותפת הקטנה ביותר 19
סדר פעולות חשבון 20

שברים

תכונות בסיסיות של שברים 22
חיבור וחיסור שברים 22
כפל של שבר בשלם 23
כפל של שבר בשבר 23

חילוק של שבר במספר רציונלי 24
שבר של שברים 24
השוואה בין שברים 25

מספרים עשרוניים
הגדרה 27
הפיכת מספר עשרוני לשבר ולהפך 27
שבר מחזורי 28
הפיכת שבר מחזורי לשבר 28

פעולות חשבון במספרים עשרוניים
חיבור וחיסור 29
כפל וחילוק 30

יחסים ופרופורציה
הגדרות של יחס 31
פרופורציה 31
סגולות הפרופורציה 32

אחוזים
הגדרה 33
חישוב אחוזים מכמות נתונה 33
חישוב מספר a ש r% ממנו ידועים 33
הרחבת יחס לאחוזים 34
הפיכת אחוזים ליחס 34

אלגברה
מספרים מכוונים
הגדרה 36
ערך מוחלט, מספרים נגדיים 36
פעולות חשבון במספרים מכוונים
חיבור, חיסור 37
כפל, חילוק 38

חזקות
הגדרה ומונחים 39
תכונות החזקה 39

חזקות עם מעריכים לא טבעיים
שורשים 40
תכונות השורשים 41
הוצאת שלמים מתחת לשורש 41

תבניות אלגבראיות
חד-איבר רב-איבר 42
כינוס איברים דומים 43
כפל של חד-איבר בחד-איבר 43
כפל של רב-איבר בחד-איבר 44
כפל של רב-איבר ברב-איבר 44
חילוק של חד-איבר בחד-איבר 44
חילוק של רב-איבר בחד-איבר 45
חילוק של רב-איבר ברב-איבר 45
פירוק לגורמים של תלת איבר 47

נוסחאות הכפל
פיתוח הבינום 48
משולש פסקל 49
ריבוע של תלת איבר 50
פירוק לגורמים בעזרת נוסחה 50

התרת משוואות מהמעלה הראשונה
אכסיומות 51
משוואות עם נעלם אחד 52
מערכת משוואות עם שני נעלמים 53
שיטת ההצבה 54
שיטת השוואת מקדמים 54
נוסחת קרמר 55
משוואות עם שלושה נעלמים 55

התרת משוואה מהמעלה השניה
התרה ע"' פירוק לגורמים 58
התרה ע"י השלמה לריבוע 59
התרה בעזרת נוסחה 59
תנאי קיום השורשים 60
סכום ומכפלת השורשים 60
הרכבת משוואה משורשיה 61
מערכת משוואות מהמעלה השניה 61
משוואה דו-ריבועית . . . . . 62
חקירת משוואה ריבועית . . .. 63

אי שוויונים אלגברים
אי שוויון מהמעלה הראשונה .. 64
אי שוויון מהמעלה השניה. . .. 65
אי שוויון רציונלי . . . . . 67

סדרות
סדרה חשבונית
נוסחת האיבר ה-n 70
תכונות של סדרה חשבונית. 70
סכום n האיברים הראשונים 72
סדרות חשבוניות מיוחדות 73

סדרות
נוסחת האיבר ה- n 70
תכונות של סדרה הנדסית 70
סכום n האיברים הראשונים 75
סדרה הנדסית יורדת אינסופית 76
חסכונות ותשלומים לשיעורים 76

סדרות כלליות
סדרה חשבונית מסדר 2 77
סדרה הנדסית מסדר 2 77

סכום הריבועים של n הטבעיים
הראשונים………………………………78

לוגריתמים
הגדרה 80

תכונות הלוגריתמים
משפט המכפלה 80
משפט המנה 81
משפט החזקה 81
שינוי בסיס הלוגריתמים 82

קומבינטוריקה

תמורות מספר התמורות של n עצמים 84
מספר התמורות של n עצמים במעגל 85
תמורות עם חזרות……………………….85
חליפות
מספר החליפות של K עצמים מתוך n 86
חליפות עם חזרות…………………… 86
צירופים
מספר הצירופים של K עצמים מתוך n 87

הבינום של ניוטון
מקדם האיבר ה- 1 + K 89
תכונות המקדם הבינומי 90

הנדסת המישור
מושגים יסודיים 92
הקו, הישר, המישור, קרן, קטע 92
זוויות, זווית שטוחה 92
זווית ישרה, זווית קהה וחדה 93
זוויות צמודות, קודקודיות 93
חוצה זווית 94
היחידות למדידת זוויות 94
חיתוך שני ישרים ע"י ישר שלישי 95

מצולעים
הגדרה של קו שבור 96
המצולעים למיניהם 96
המשולש ומרכיביו 97
הדלתון 98
ארבעה משפטי חפיפה של משולשים 98

משפטים שיש לזכור
תכונות משולש שווה השוקיים 100
תכונות הדלתון 100
אי שוויונים במשולש 100
קווים מקבילים 101
אכסיומת אוקלידס 101
שימור זוויות ע"י מקבילים 102
סכום הזוויות במשולש ובמצולע 102
מקבילית 103
מעוין, מלבן, ריבוע 103
קטע האמצעים במשולש 104
טרפז, קטע האמצעים בטרפז 106
טרפז שווה שוקיים 107

משפטים בסיסיים על מעגל
זווית היקפית במעגל 108
תנאי לחסימת מרובע במעגל 109
זווית בין משיק למיתר . 110
מעגל חוסם משולש 110
מעגל חסום במשולש 110

פרופורציה ודמיון
משפט תלם והיפוכו 111
תכונות חוצה זווית במשולש 112
שולשים דומים 112
משפטי הדמיון 112
תכונות הגובה במשולש ישר זוויות 113

מקומות גיאומטריים
המעגל 114
אנך אמצעי לקטע AB 114
קו מקביל לישר נתון 115
חוצה הזווית 115
קשת של מעגל 115
מקום של כל הנקודות שיחס מרחקיהן
משתי נקודות קבועות הוא יחס נתון 116
בעיות בניה יסודיות
חציית קטע 117
הורדת אנך לישר דרך
נקודה חיצונית לישר 117
העלאת אנך לישר מנקודה שעליו 118
העתקת זווית 118
חציית זווית 119
העברת מקביל לישר דרך נקודה
חיצונית לישר 120
חלוקת קטע ל-N חלקים שווים 121

שטחים
משפט אוקלידס לפי שטחים…………...122
משפט פיתגורס לפי שטחים 123
היקף ושטח של צורות גיאומטריות
משולש, מלבן, מקבילית . 124
מעוין, ריבוע, טרפז, מעגל 125
קשת, גיזרה, מצולע משוכלל 126

טריגונומטריה

המעגל הטריגונומטרי
הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות 128
ערכי הפונקציות הטריגונומטריות
של זוויות מיוחדות 129
הפונקציות הטריגונומטריות של
זוויות בין 0 ו- 360 129
השתנות של פונקציות 130
תיאורים גרפיים של פונקציות
טריגונומטריות 131
מחזוריות 131
נקודות התאפסות של הפונקציות 132
הקשרים העיקריים בין הפונקציות
הטריגונומטריות 132
נוסחאות סכום והפרש זוויות 133
נוסחאות לזווית הכפולה 133
נוסחאות לזווית משולשת 134
נוסחאות של מחצית הזווית 134
הפיכת מכפלה לסכום והפרש 135
הפיכת סכום והפרש למכפלה 135
הבעת הפונקציות הטריגונומטריות
באמצעות tan1/2a 136
חזקות של פונקציות טריגונומטריות 137
התרת משולשים
משולש ישר זוויות 138
משולש כללי 139
משפט הסינוס 135
משפט הקוסינוס 140
משפס מולביידה 140
קשרים נוספים בין פונקציות
טריגונומטריות של זוויות במשולש 141
הבעת גדלים במשולש
גובה 142
מחוגי המעגל החוסם והחסום 142
שטח של משולש 143
שטח של מקבילית 144
זהויות שימושיות נוספות 144

הנדסה המרחב

מושגים בסיסיים
משטח, גוף, מישור - הגדרות 146
אופן קביעת מישור 146
מצב יחסי בין ישר למישור 146
זווית בין משופע למישור 147
פינה 147
זווית הפינה 148
פאון 148
מנסרה
הגדרה 149
מנסרה ישרה 149
תיבה, קוביה 150
שטח מעטפת,שטח בסיסים,שטח פנים 150
נפח המנסרה 150
פירמידה
הגדרה 151
פירמידה ישרה 151
פירמידה ישרה משוכללת 152
מרובעון 152
שטח מעטפת, שטח בסיס, שטח פנים 152
נפח הפירמידה 152
פירמידה קטועה 152
גליל
הגדרה 153 ן
שטח מעטפת, בסיסים, שטח פנים 153
נפח הגליל 153
חרוט
הגדרה 154
שטח מעטפת, בסיס, פנים 155
כדור
הגדרה 155
כדור 155
כיפה כדורית 155
משפטים שיש לזכור
ישר מאונך לשני ישרים 156
קווים מקבילים המאונכים למישור 156
זווית שיוצר המשופע עם היטלו 157
ישר מאונך למישור 157
התיבה ואלכסוניה 158

פונקציות
הקדמה הגדרת הפונקציה, מקורות, תמונות 160
פונקציה חד חד ערכית 161
פונקציה מפורשת ופונקציה סתומה 162
פונקציה מורכבת 162
תחום הגדרה של פונקציה 163
תיאור גרפי של פונקציה 104
ערכים חיוביים ושליליים
של פונקציה 164
פונקציה עולה ופונקציה יורדת 165
פונקציה זוגית ואי זוגית 165
קצב השתנות - שיפוע 166
נקודות התאפסות 167
נקודות קיצון 167
הפונקציה הקווית 6נ
משוואת הפונקציה הקווית 168
נקודות החיתוך עם הצירים 169
תיאור גרפי של פונקציה קווית
שיטה א' - טבלת ערכים 170
שיטה ב' - בעזרת שיפוע 171
התרת מערכת משוואות עם שני
נעלמים בעזרת גרפים 171
התרת אי שוויונים מהמעלה הראשונה
בעזרת גרפים 172
הפונקציה הריבועית
משוואת הפונקציה הריבועית 174
תיאור גרפי של פונקציה ריבועית 174
שיעורי קודקוד הפרבולה 175
מצב הפרבולה ביחס לציר ה-x 175
התרת אי שוויונים מהמעלה השניה
באופן גרפי 176
הפונקציה המעריכית
הצורה הכללית 178
תכונות 178
הפונקציה הלוגריתמית
הצורה הכללית 179
תכונות 179
הפונקציה ההופכית
הצורה הכללית, תיאור גרפי, תכונות 180
פונקצית הערך השלם 181
פונקצית הערך המוחלט 180

מספרים מרוכבים
מושגים בסיסיים
מספר דמיוני - יחידה דמיונית 184
הגדרה של מספר מרוכב 184
מספר צמוד למספר מרוכב 184
פעולות חשבון במספרים מרוכבים
חיבור וחיסור 185
תכונות החיבור במספרים מרוכבים 185
כפל 185
חילוק 186
תכונות הכפל במספרים מרוכבים 187
ההצגה הטריגונומטרית של מספרים
מרוכבים
הגדרת מערכת הצירים 187
מעבר מצורה לצורה 189
מכפלה וחילוק מספרים נתונים בצורה
טריגונומטרית 190
חזקה ושורש של מספר מרוכב
נוסחת דה מואבר 191
השורש ה-n של היחידה 191

חשבון דיפרנציאלי
ואינטגרלי

גבולות
גבול של פונקציה 194
שאיפה לאינסוף 194
גבול באינסוף 195
משפטים על גבולות 196
גבולות במצבים מיוחדים 197
גבולות בסיסיים 198
רציפות של פונקציות 199
הנגזרת
הגדרה של נגזרת 200
מספר נגזר 200
המשמעות הגאומטרית של הנגזרת 201
משוואת המשיק לגרף הפונקציה 201
נגזרות אלמנטריות 202
נגזרת של פונקציה מורכבת 203
נגזרות מסדר n 204
משפט הערך הממוצע 205
משפט רול 205
משפט לופיטל 206
חקירת פונקציה
קביעת תחום הגדרה 207
נקודות קיצון 207
נקודות חיתוך עם הצירים 207
טבלת השתנות וערכים 208
רישום סקיצה 208
מציאת אסימפטוטות אנכיות, אופקיות
ואלכסוניות 209
נקודות נוספות בחקירה: סימטריה,
מחזור, קיעור וקימור 210
דוגמא לחקירת פונקציה 211
האינטגרל הלא מסוים
הגדרה 213
חוקי האינטגרלים 213
אינטגרלים מידיים 214
שיטות אינטגרציה 216
שיטת ההצבה 216
שיטת אינטגרציה בחלקים 217
שיטת אינטגרציה של פונקציות
טריגונומטריות מסוימות 218
שיטת אינטגרציה של פונקציות
אירציונליות 220
שיטת אינטגרציה של פונקציות
רציונליות 221
נוסחאות לאינטגרלים מורכבים יותר 222
אינטגרל מסוים
שטה שמתחת לעקום - הגדרה 224
דוגמאות לחישוב שטח 225
גוף סיבוב 227

מטריצות
ודטרמיננטות
מושגים בסיסיים
מטריצה 230
מטריצה ריבועית 230
דטרמיננטה 231
משלים אלגברי 231
תכונות הדטרמיננטות 233
כללים לחישובי דטרמיננטות 234
כלל סרוס 235

הנדסה אנליטית
מערכת קרטזית 238
העתקת מערכת 239
סיבוב מערכת 239
מרחק בין שתי נקודות 240
שטח של משולש 240
חלוקת קטע ביחס נתון 241
הקו הישר
תנאי להימצאות 3 נקודות על
ישר אחד 242
המשוואה הכללית של ישר 242
המשוואה המפורשת של ישר 243
המשוואה הנורמלית של ישר 244
הבעת המשוואה הנורמלית באמצעות
A, B ו C 244
זויות בין שני ישרים 245
תנאי הקבלה 245
תנאי ניצבות 245
מרחק של נקודה מישר 246
משוואת חוצה זוית שבין 2 ישרים 246
מעגל
משוואת המעגל הקנוני 247
משוואה כללית של מעגל 248
אי שוויון במעגל הקנוני 248
תנאי השקה למעגל 248
משוואת המשיק למעגל קנוני 248
משיק למעגל קנוני בנקודה שעליו 249
משיק למעגל לא קנוני דרך נקודה
חיצונית 249
משיק למעגל לא קנוני בנקודה
שעליו 250
פרבולה
הגדרה ומינוח 251
משוואה של פרבולה קנונית 251
משוואה של פרבולה לא קנונית 252
מצב יחסי בין פרבולה ונקודה 252
משיק לפרבולה קנונית - תנאי השקה 253
משוואת המשיק והנורמל 254
משוואה של משיק לפרבולה לא
קנונית דרך נקודה חיצונית 252
אליפסה
הגדרה ומינוח 255
משוואה של אליפסה קנונית 256
אכסנטריות של אליפסה 256
משוואה של אליפסה לא קנונית 257
משיק לאליפסה, תנאי השקה 257
מצב יחסי של ישר ואליפסה 258
משוואת המשיק והנורמל לאליפסה 258
משוואת המשיק לאליפסה לא קנונית
דרך נקודה חיצונית 259
היפרבולה
הגדרה ומינוח 260
משוואה של היפרבולה קנונית 261
אכסנטריות של היפרבולה 261
משוואה של היפרבולה לא קנונית 262
משיק להיפרבולה - תנאי השקה 262
מצב יחסי בין ישר והיפרבולה 263
משיק ונורמל להיפרבולה בנקודה
שעליה 263
משיק להיפרבולה דרך נקודה
חיצונית 264
משוואת האסימפטוטות להיפרבולה
קנונית 265
קואורדינטות קוטביות
קביעת מיקום עפ"י מרחק וזוית 266
הפיכת קואו' קרטזיות לקוטביות
וההיפך 266
מרחק בין שתי נקודות בשיעורים
קוטביים 267
משוואת קוטביות של קווים אחדים
הקו הישר 267
מעגל 268
שניוניות (אליפסה, פרבולה,
היפרבולה 269
וקטורים
סקלר ווקטור
הגדרת סקלר 272
הגדרת וקטור 272
חיבור וחיסור וקטורים 273
תכונות הסכום של וקטורים 273
כפל בסקלר 274
וקטור המיקום 275
פירוק וקטור לרכיבים 276
מכפלה סקלרית של שני וקטורים 277
מכפלה וקטוריאלית של שני
וקטורים 280
סטטיסטיקה והסתברות

מושגים בסיסיים בסטטיסטיקה
שכיחות 280
התפלגות השכיחויות 280
צורות גרפיות שונות לתאור התפלגות
השכיחויות
היסטוגרמה 280
דיאגרמת מקלות 281
מצולע השכיחויות 281
המדדים הסטטיסטיים 282
ממוצע חשבוני 282
שונות 283
טסית התקן 283
החציון 283
חציון עם משתנה בדיד 284
חציון עם משתנה רציף 284
מושגים בסיסיים בהסתברות
הגדרת ההסתברות 288
מאורע רצוי ומאורע משלים 288
הסתברות להתרחשות של שני מאורעות
A ו - B במצבים שונים
התרחשות של אחד מהם 289
התרחשות של שניהם בשתי הופעות
עוקבות 289
הסתברות להתרחשות A בלבד, לפחות
פעם אחת, בשתי הופעות עוקבות 289
נוסחת ברנולי 290
התפלגות נורמלית
המעקם הנורמלי הסטנדרטי 292
טבלת מעבר לציוני תקן 293
תכנון לינארי 297